第476章 子博弈完美均衡(1/3)

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子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium, spe）

子博弈完美均衡（spe）是纳什均衡（nash equilibrium）的一种强化形式，专门用于动态博弈（dynamic games），特别是那些包含多个决策阶段的博弈。spe要求在每一个可能的子博弈（subgame）中，策略都必须是一个纳什均衡。

1 子博弈完美均衡的定义

一个策略组合构成子博弈完美均衡，当且仅当它在博弈的每一个可能的子博弈中都形成纳什均衡，即：

玩家在每一步都必须选择最优策略，不论游戏是否已经按照这个路径进行。

通过逆向归纳法（backward induction）来求解spe。

spe解决了纳什均衡可能包含不可信威胁的问题。例如，在某些博弈中，某些威胁在理性情况下根本不会被执行，而纳什均衡可能会包含这些威胁。而spe要求策略在所有子博弈中都合理，因此排除了这些不可信的威胁。

2 spe的求解方法：逆向归纳法

求解子博弈完美均衡的主要方法是逆向归纳法（backward induction），步骤如下：

1从最后一个决策节点（终局）开始，找出最优策略。

2回溯到前一个决策节点，在考虑后续最优策略的情况下，找到当前的最优选择。

3依次回溯，直到回到博弈的起点，最终得出整个博弈的最优策略组合，即spe。

3 经典案例分析

(1) 讨价还价博弈（rubinstein bargaining game）

场景：

两个玩家a和b协商如何分配100元。

a先出价，b可以接受或拒绝：

接受：按a的分配方案执行。

拒绝：进入下一轮，由b出价，但总金额减少（如因折现或时间成本，变为90元）。

这个过程可以继续，直到某一方接受提议。

解法（逆向归纳法）：

1在最后一轮，b必须接受任何非零金额，因为否则大家都拿不到钱。

2在倒数第二轮，a知道b在下一轮会接受，因此a会给b最少的钱，以确保自己利益最大化。

3依次回溯，最终得出spe，a在第一轮出一个合理的价钱让b接受，而b接受，因为等待对b来说更不划算。

(2) 进入威胁博弈（entry deterrence game）

场景：

新企业e考虑进入市场，已有企业i可以选择降价竞争（fierce）或维持高价（acmodate）。

如果e不进入，i赚15，e赚0。

如果e进入：

i选择降价，i 和 e 都亏损 -10。

i选择高价，i赚10，e赚5。

解法（逆向归纳法）：

1最后一步：如果e已经进入市场，i的最优策略是维持高价（因为降价会亏损）。

2回溯：e知道i不会真的降价打压，所以e会进入市场。

3结论：spe是e进入，i维持高价。

这显示了spe如何排除不可信威胁（即i宣称要降价，但实际上不会）。

(3) 信号博弈（job market signaling）

场景：

求职者（worker）可以选择是否上大学（成本c）。

雇主（employer）决定是否提供高薪（h）或低薪（l）。

如果雇主认为求职者能力高，就提供高薪，否则提供低薪。

解法（逆向归纳法）：

1雇主的决策（最后一步）：

如果看到求职者上大学，则认为其能力较高，给高薪。

如果未上大学，则给低薪。

2求职者的决策（回溯）：

如果求职者能力高，上大学的成本c较低，愿意去。

如果能力低，上大学的成本c较高，不愿意去。

3spe：

高能力者选择上大学，雇主提供高薪。

低能力者不选择上大学，雇主提供低薪。

这个模型解释了为什么学历可以作为一种信号，即使它本身不一定直接提高生产力。

4 spe的应用

(1) 经济与商业

定价策略：大公司是否降价以阻止新竞争者进入市场。

供应链谈判：零售商与供应商的长期合作策略。